Общие теоремы динамики. Основные законы и формулы по теоретической механике. Решение примеров Основные теоремы динамики точки

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

В первых четырёх лекциях, для исследования движения материальной точки, нами применялся математический аппарат дифференциальных уравнений, который позволяет проводить исследование движения точки во всех его деталях. Однако, в некоторых случаях, такой подробный анализ движения точки проводить не требуется. Например, нужно найти какие-либо числовые значения параметров движения точки в некоторый фиксированный момент времени, или по прохождении точкой определённого расстояния. В этом случае из основного уравнения динамики точки, записанного в соответствующей дифференциальной форме, путём его интегрирования, получаются некоторые интегральные соотношения, которые, чаще всего, позволяют достаточно легко получать необходимые конкретные значения тех или иных величин.

Такие дифференциальные и интегральные преобразования основного уравнения динамики точки носят название общих теорем динамики точки. Общие теоремы динамики точки, во многих случаях, позволяют выявить некоторые общие свойства тех или иных движений точки. Рассмотрим эти теоремы.

Теорема об изменении количества движения точки

Пусть точка движется по криволинейной траектории (рис. 1) из начального положения М 0 в некоторое произвольное положение М под действием системы n сил, имея в начальный момент времени скорость V 0 , а в текущий момент времени  скорость V . Запишем основное уравнение

mV 0

V 0 F n

M 0 M,t

S V F 1

mV F 2 mV

динамики точки, представив в нём ускорение , и внеся массу точки под знак производной:

(1)

В этом выражении величина называется количеством движения точки. В физике используется ещё одно название этой величины  импульс точки.

Равенство (1) выражает теорему об изменении количества движения точки, записанную в дифференциальной форме, которая читается: Производная по времени от вектора количества движения точки в данный момент времени равна векторной сумме моментов всех сил, действующих на точку, в этот же момент времени. Ещё раз отметим, что равенство (1) является видоизменённой записью основного уравнения динамики точки.

Умножим левую и правую части равенства (1) на дифференциал времени dt и возьмём определенные интегралы с переменными верхними пределами от его левой и правой частей:

или интегрируя, получим:

(4)

Вектор называется полным импульсом всех сил , действующих на точку за время t . Этот вектор можно представить в другой форме, если воспользоваться независимостью операций суммирования и интегрирования. На этом основании получим:

, (5)

где  полный импульс k -й силы за время t .

Таким образом, полный импульс всех сил за некоторое время равен сумме полных импульсов всех сил за это же время. Графическое определение полного импульса всех сил показано на рис.1. Равенство (3) представляет запись теоремы об изменении количества движения точки в интегральной форме, которая читается: Изменение количества движения точки за данный промежуток времени равно полному импульсу (сумме импульсов) всех сил, действующих на точку, за этот же промежуток времени.

Векторное равенство (3) можно записать в проекциях на соответствующие координатные оси, например, на оси неподвижной декартовой системы координат:

, (6)

где S x , S y , S z  проекции вектора полного импульса всех сил на оси декартовой системы координат. Эти проекции, на основании равенства (4), имеют следующий вид:

, , (7)

Теорему об изменении количества движения точки, записанную в интегральной форме (3), можно использовать для определения среднего значения равнодействующей всех сил, приложенных к точке, за некоторый промежуток времени. В этом случае полному импульсу всех сил, действующих на точку, придаётся следующая форма:

, (8)

где  интегральное среднее значение функции на интервале [0, t ]. Рассмотрим примеры применения теоремы об изменении количества движения точки.

Пример 1 . Тело массой m , имевшее начальную скорость , направленную под углом  к горизонту, движется под действием постоянной силы тяжести ( постоянное ускорение свободного падения). Найти зависимость скорости точки от времени.

Для решения задачи применим теорему об изменении количества движения точки в форме (3). На основании равенств (4) или (5) получим для полного импульса всех сил следующее выражение:

(9)

Подставляя это выражение полного импульса в равенство (3), и деля его левую и правую части на массу точки, найдём из него:

(10)

Векторное равенство (10) может быть наглядно представлено в графической форме, показанной на рис.2. Численное значение скорости найдём, применяя к векторному треугольнику теорему косинусов:

V 0



V g t (11)

Пример 2 . Во втором примере определим среднюю силу, действующую на материальную точку массой m, которая движется равномерно по окружности радиусом R со скоростью V=V 0 , за время, соответствующее половине оборота по окружности (рис.3).

Для решения задачи применим теорему об изменении количества движения точки в форме (3), представив полный импульс всех сил, с учётом , равенством (8):

mV (12)

Из рис.3 видно, что ; на этом

основании из уравнения (12) найдём:

M 0 M

R (13)

mV 0

Равенство (13) показывает, что вектор средней силы направлен в сторону вектора конечного количества движения точки. Определим теперь время движения точки по полуокружности. При движении точки с постоянной по модулю скоростью V, время движения будет равно отношению пройденного пути  R к скорости точки:

t=  R/V (14)

Подставив найденное значение времени в выражение (13), получим окончательное выражение вектора средней силы:

(15)

Взяв левую и правую части равенства (15) по абсолютной величине, найдём численное значение средней силы:

(16)

Таким образом, средняя, за время движения точки, сила, по своей абсолютной величине, немного меньше силы, действующей на точку при её равномерном движении по окружности, и направленной к центру окружности.

Теорема об изменении момента количества движения точки относительно неподвижного центра

Рассмотрим ещё одно преобразование основного уравнения динамки точки, которое удобно применять для исследования некоторых движений точки. Для этого введём в рассмотрение векторы, определяемые равенствами:

(17)

Эти векторы называются, соответственно, моментом силы и моментом количества движения точки относительно данного центра. Понятие момента силы было рассмотрено в разделе Основные понятия динамики (Лекция 1). Понятие момента количества движения точки относительно данного центра вводится аналогично понятию момента силы относительно центра.

Все математические свойства этих векторов и все математические операции над ними полностью тождественны. Конечно, физический смысл данных векторов совершенно разный. Если момент силы относительно центра количественно характеризует степень вращательного воздействия силы на тело с одной неподвижной точкой, то у момента количества движения точки вообще нет такого ясного физического смысла. Этот вектор вводится только для удобства чисто математических преобразований основного уравнения динамики точки.

Рассмотрим движение точки по некоторой криволинейной траектории под действием системы n сил (рис.4). Запишем основное уравнение динамики точки в виде теоремы об изменении её количества движения в дифференциальной форме (1), векторно умножив левую и правую части равенства (1) на радиус-вектор точки:

(18)

(19)

В правой части этого тождества первое слагаемое равно нулю, так как и это слагаемое представляет векторное произведение двух коллинеарных векторов. С учётом этого, равенство (19) примет вид:

(20)

В правой части равенства (18) радиус-вектор точки , не зависящий от индекса суммирования, внесём под знак суммы. После этого, с учётом тождества (20), равенство (18) запишется:

, (21)

или, принимая во внимание определения момента силы и момента количества движения точки (17), перепишем его в следующем виде:

(22)

Равенства (21) или (22) представляют формулировку теоремы об изменении момента количества движения точки относительно данного центра в дифференциальной форме, которая читается: Производная по времени от вектора момента количества движения точки относительно данного центра равна векторной сумме моментов всех сил, действующих на точку, относительно этого же центра. Эта теорема называется ещё теоремой моментов. Интегральную формулировку данной теоремы здесь приводить не будем, т. к. она используется сравнительно редко. Спроектируем левую и правую части векторного равенства (22) на оси неподвижной декартовой системы координат. В результате получим три скалярных равенства вида:

(23)

Равенства (23) выражают теорему моментов, записанную в скалярной форме, которая читается: Производная по времени от момента количества движения точки относительно данной оси равна сумме моментов всех сил, действующих на точку, относительно той же оси.

Очень часто, на практике, применяются частные случаи теоремы моментов, которые приводят к законам сохранения вектора момента количества движения точки относительно центра или его проекции на данную ось. Рассмотрим эти законы.

а) закон сохранения вектора - момента количества движения

Пусть действующие на точку силы таковы, что . В этом случае из равенства (22) следует:

Последнее равенство (24) выражает закон сохранения вектора момента количества движения точки относительно центра, который читается: Если сумма моментов всех сил, действующих на точку, относительно некоторого центра, равна нулю, то вектор момента количества движения этой точки относительно этого же центра сохраняется. Поскольку вектор перпендикулярен плоскости векторов и, то сохранение этого вектора означает, что движение точки будет происходить в одной плоскости, т. е. траекторией точки будет некоторая плоская кривая. Более полные исследования движения точки, для этого случая, показывают, что траекторией точки является одна из кривых второго порядка.

б) закон сохранения момента количества движения точки относительно оси

Пусть действующие на точку силы таковы, что, например, . В этом случае из последнего равенства (23) следует:

, (25)

Последнее равенство (25) выражает закон сохранения проекции момента количества движения точки на данную ось, который читается: Если сумма моментов всех сил, действующих на точку, относительно некоторой оси, равна нулю, то момент количества движения точки относительно этой оси сохраняется. Конечно, моменты количества движения точки относительно других осей, в общем случае, могут и не сохраняться. Приведём пример применения теоремы моментов.

Пример. Точка движется под действием силы притяжения к некоторому неподвижному центру. В момент времени t 1 r 1 V 1 , направленную под углом  1 к отрезку ОМ 1 . В момент времени t 2 точка находилась на расстоянии r 2 от притягивающего центра и имела скорость V 2 , направленную под углом  2 к отрезку ОМ 2 . Определить зависимость между скоростями точки в указанные моменты времени и площадь сектора ометённого радиус-вектором точки за данный промежуток времени (рис.5).

М 2 ,t 2

О h 1 M 1, t 1

К решению задачи применим теорему моментов. Так как линия действия силы, приложенной к точке, всегда проходит через притягивающий центр 0 , то момент этой силы относительно данного центра равен нулю. Таким образом, в этой задаче приходим к закону сохранения момента количества движения точки относительно центра 0 . Приравняем друг к другу численные значения этого момента в точках M 1 и M 2 :

mV 1 h 1 = mV 2 h 2 , (26)

V 1 r 1 sin  1 =V 2 r 2 sin  2 (27)

Из равенств (26) или (27) находим зависимость между скоростями:

V 1 /V 2 = r 2 sin  2 / r 1 sin  1 =h 2 / h 1 (28)

Из пропорций (28) следует, что скорости в точках М 1 и М 2 обратно пропорциональны плечам векторов количества движения в этих точках.

Чтобы найти площадь сектора 0М 1 М 2 , запишем закон сохранения момента количества движения точки в следующем виде (рис.6):

mVh = mV 1 h 1 , или (ds / dt ) h = V 1 h 1 , (29)

где V скорость точки в произвольный момент времени, h плечо вектора количества движения точки в этот момент времени (рис.6). Умножая левую и правую части последнего равенства (29) на dt, получим:

h ds = V 1 h 1 dt (30)

Поскольку вектор бесконечно мал, то произ-

M , t ведение hds , равное удвоенной площади заштри-

h хованного треугольника, одновременно будет

равно удвоенной площади бесконечно узкого

сектора, образованного бесконечно малой дугой траектории точки длиной ds ,радиус-вектором

Рис.6 точки и отрезком, соединяющим центр 0 с

концом вектора (концом дуги ds ). Обозначим эту площадь через d  .

Интегрируя левую и правую части равенства (30), соответственно в пределах от 0 до  и от 0 до t получим зависимость площади криволинейного сектора, «ометаемого» радиус-вектором точки, от времени:

 = 0,5 V 1 h 1 t (31)

равенство (31), известное как закон площадей, читается: При сохранении момента количества движения точки, радиус-вектор точки за равные промежутки времени «ометает» равные площади. Этот закон, применительно к движению планет, был установлен Кеплером путём наблюдений за движением планет.

Теперь нетрудно определить площадь криволинейного сектора 0М 1 М 2 (рис.5), «ометённого» радиус-вектором точки за время, равное t 2 - t 1 . Обозначив эту площадь через  , на основании равенства (31), получим:

 =  2   1 =0,5 V 1 h 1 (t 2 - t 1 ) (32)

ЛЕКЦИЯ 6

3.Теорема об изменении кинетической энергии точки

Переходим теперь к рассмотрению очень важной, с практической точки зрения, теоремы, в которой устанавливается связь между такими физическими величинами как кинетическая энергия точки, работа силы, мощность силы. Запишем основное уравнение динамики точки в проекции на касательную к траектории точки (рис.1), (см. Лекцию 1):

(1)

Преобразуем в равенстве (1) проекцию ускорения точки на касательную к траектории к следующему виду:

(2)

Подставим это выражение касательного ускорения в равенство (33) и умножим его левую и правую части на дифференциал криволинейной координаты ds . Внеся множитель ds под знак суммы, как не зависящий от индекса суммирования получим:

M,t  n (3)

 2  1 В равенстве (3) величина mV 2 /2 ,

Стоящая под знаком дифференциала

Рис.1 называется кинетической энергией

точки в данный момент времени или живой силой. Слагаемые F k  ds , стоящиепод знаком суммы, носят название элементарных (бесконечно малых) работ сил, которые обозначим через dA k . Таким образом, имеем:

dA k = F k  ds ,(k=1,2,  n) (4)

Следует иметь в виду, что символ d в левой части равенства (4) не означает дифференциала некоторой функции А к , так как величина, стоящая в правой части этого равенства вообще может не быть дифференциалом какой-либо функции. Этот символ означает бесконечно малую (элементарную) величину. С учётом выражения (4), равенство (3) запишется в следующей форме:

Выражение (5) представляет запись теоремы об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме, которая читается: Дифференциал (бесконечно малое изменение) кинетической энергии точки в данный момент времени равен сумме элементарных работ всех сил, действующих на точку, в этот же момент времени.

Теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме можно записать в ином виде, имеющем другой физический смысл. Для этого, разделим левую и правую части равенства (5) на дифференциал времени dt , внеся множитель 1/ dt под знак суммы. Получившаяся под знаком суммы величина dA k / dt , называется мощностью силы, которая равна работе силы за единицу времени. На основании изложенного, равенство (5) приобретёт следующий вид:

, (6)

где мощность к -й силы определяется выражением:

Равенство (6) читается: Производная по времени от кинетической энергии точки в данный момент времени равна сумме мощностей всех сил, действующих на точку в этот же момент времени.

Рассмотрим более подробно выражения элементарной работы и мощности силы. Для этого представим элементарную работу силы (равенство (4)) в следующем виде (текущий индекс к, для упрощения записи уберём):

Выражение, стоящее в правой части равенства (8), является скалярным произведением вектора силы на вектор элементарного перемещения , направленный по скорости точки (рис. 2). Таким образом, равенство

(8) можно представить так:

(9)

Вспомним из кинематики, что вектор элементарного перемещения точки

М,t равен бесконечно малому прира-

● щению радиус-вектора точки

  (, отсюда полу-

Чим ).

Исходя из этого, запишем выражение элементарной работы силы в координатной форме:

где , а .

В соответствии с равенством (7), и полученными формулами элементарной работы (8), (9), и (10), запишем выражения для мощности силы в различных формах:

Следует отметить, что элементарная работа и мощность силы являются алгебраическими величинами. Как следует из выражений (8), (9), (10) и (11), знак элементарной работы или мощности силы определяется знаком косинуса угла между направлениями вектора силы и вектора элементарного перемещения (или вектора скорости) её точки приложения. Если этот угол острый, то элементарная работа и мощность силы положительны; если же тупой  отрицательны. В частном случае, когда угол между векторами силы и элементарного перемещения (скорости) точки  прямой, элементарная работа и мощность силы равны нулю.

Получим теперь интегральную форму записи теоремы об изменении кинетической энергии точки. Для этого возьмём интегралы от левой и правой части равенства (5) в пределах изменения скорости и пройденного точкой расстояния:

(12)

Интеграл в левой части данного равенства, после подстановки пределов интегрирования, равен разности кинетических энергий точки в её конечном и начальном положениях. Интеграл в правой части, пользуясь независимостью операций суммирования и интегрирования, приведём к следующему виду:

где через A k обозначены следующие интегралы:

(13)

Эти интегралы называются полными работами сил или, просто, работами сил на данном конечном перемещении их точек приложения. Таким образом, на основании вышеизложенного, равенство (12) записывается в следующем виде:

(14)

Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии точки, записанную в интегральной форме. Она читается: Изменение кинетической энергии точки за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех сил, действующих на точку, за тот же промежуток времени.

Для применения теоремы об изменении кинетической энергии точки, нужно уметь вычислять работы различных сил. Рассмотрим это более подробно. Прежде всего, получим различные формы представления работы силы в соответствии с различными формами записи элементарной работы силы (равенства (8), (9),(10)). Подставляя в формулу полной работы силы (13) выражения элементарной работы из равенств (8), (9), (10) (индекс к номера силы опускается) получим следующие выражения работы силы:

(15)

Интегралы вида (15) известны в математике как криволинейные интегралы. Первый из этих интегралов берётся по пройденному точкой пути, а второй и третий от начальной точки траектории до конечной точки. При этом, конкретные пределы интегрирования будут зависеть от способов вычисления этих криволинейных интегралов. Следует так же отметить, что полная работа силы, как и элементарная работа, является алгебраической величиной.

4. Примеры вычисления работы наиболее распространённых сил

а) работа силы, имеющей постоянную проекцию на касательную к траектории точки.

Если F  = Fcos  = const , то, как следует из первой формулы (15), для работы такой силы получим выражение:

б) работа силы трения и силы нормальной реакции неподвижной поверхности.

Рассмотрим криволинейное движение тела, принятого за материальную точку, под действием активной силы по некоторому участку шероховатой поверхности (рис.3). В этом случае сила трения образует угол =180  с направлением вектора скорости, а её численное значение равно:

где f - коэффициент трения скольжения. Подставляя значение угла  и выражение силы трения (17) в первую из формул (15), получим следующее выражение работы силы трения:

(18)

Если коэффициент трения f между поверхностью тела и опорной поверхностью постоянный, то, в этом случае, выражение (18) примет вид:

(19)

Наконец, в самом простом случае, примем значения f и N постоянными. Тогда для работы силы трения получим следующее выражение:

Как следует из первой формулы (15), работа силы нормальной реакции неподвижной поверхности всегда равна нулю , так как проекция этой силы на касательную к траектории точки равна нулю (рис.3).

в) работа постоянной силы тяжести.

Рассмотрим движение точки по некоторой криволинейной траектории (рис.4), принимая во внимание, что среди сил, действующих на точку, имеется сила тяжести Р . Определим работу силы тяжести при перемещении точки из положения М 1 в положение М 2 . Для этого воспользуемся третьей из формул (15), положив в ней F x = F y =0, F z =- P :

z 1 М 1

z 2  M,t h (21)

P М 2 y Если точки М 1 и М 2 поменять местами,

изменив, соответственно, координаты

x этих точек, то в выражении (53) изме-

нится только знак работы силы тяжести.

Рис.4 Таким образом, в общем случае, работа

постоянной силы тяжести определяется

следующей формулой:

которая читается: Работа постоянной силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля этой силы на разность высот между начальным и конечным положением её точки приложения. При этом, знак плюс соответствует движению точки из более высокого положения в более низкое, а знак минус  из более низкого положения в более высокое.

Выделим одно важное свойство работы силы тяжести, которое непосредственно вытекает из формулы (22): Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается её точка приложения. Она определяется только разностью высот между начальным и конечным положениями точки приложения силы тяжести . Так, например, точка может перемещаться из положения М 1 в положение М 2 по одной из двух различных траекторий (на рис.4 показаны жирной и тонкой линиями), однако, работа силы тяжести будет одной и той же.

С вышеуказанным свойством работы силы тяжести связано ещё одно её свойство: Работа силы тяжести по любому замкнутому контуру равна нулю. В самом деле, если точка приложения силы тяжести будет перемещаться из положения М 1 в положение М 2 по одной кривой (на рис.4 направление перемещения показано стрелками), а, затем, вернётся в исходное положение по другой кривой, то работы силы тяжести на этих перемещениях будут численно одинаковы, но с противоположными знаками. В сумме это даст работу равную нулю.

г) работа упругой силы, подчиняющейся закону Гука.

Рассмотрим движение материальной точки, прикреплённой к пружине, другой конец которой закреплён неподвижно в точке О (рис.5). Пусть точка движется по некоторой криволинейной траектории из положения М 1 в положение М 2 . Примем, что в произвольный момент времени пружина растянута и упругая сила пружины F , приложенная к точке М , направлена к точке закрепления пружины (рис.5). Запишем закон Гука в векторной форме:

M 1 M,t , (23)

Где с коэффициент жёсткости пру-

О y жины,  текущая длина пружины

x M 2 (),  длина свободной

Рис.3 (недеформированной) пружины, 

единичный вектор радиус-вектора точки (). С учётом данного выражения вектора , равенство (23) запишется в следующем виде:

(24)

Для определения работы силы упругости (24) воспользуемся третьей из формул (15), подставив в неё проекции упругой силы, которые находятся путём проектирования левой и правой части равенства (24) на оси декартовой системы координат (рис.5):

После этого выражение работы силы упругости представится следующим образом:

Поскольку = = (рис.5), то в правой части равенства (26) интегрирование по координатам сведётся к интегрированию по одной переменной с пределами интегрирования от (в точке М 1 ) до (в точке М 2 ):

(27)

Производя интегрирование в правой части равенства (27), и прибавляя к полученному результату тождественный ноль, равный , приведём выражение работы упругой силы (27) к следующему виду:

, (28)

где  начальная деформация пружины в положении М 1 ,  конечная деформация пружины в положении М 2 . Таким образом, работа силы упругости равна произведению половины коэффициента жёсткости на разность квадратов начальной и конечной деформаций пружины (или другого упругого тела).

Из анализа формулы (28) следует, что работа силы упругости обладает свойствами аналогичными свойствам работы силы тяжести. Главное из этих свойств состоит в том, что работа упругой силы не зависит от формы траектории, по которой движется точка приложения этой силы. Далее мы познакомимся с целым классом сил, работы которых обладают свойствами работ сил тяжести и упругости.

5. Движение точки в потенциальном силовом поле. Закон сохранения механической энергии

При определении работ сил, рассмотренных выше, интегралы работ вычислялись сравнительно легко благодаря тому, что эти силы были или постоянными, или явным образом зависели от положения (координат) точки. Совокупность такого рода сил, имеющих одну и ту же физическую природу, и действующих на материальную точку, помещённую в любую точку некоторой области пространства, образует поле данной силы или силовое поле этой силы .

Силовое поле будет стационарным , если сила явным образом не зависит от времени, и нестационарным , если сила явным образом зависит от времени. Так, например, совокупность сил тяжести, действующих на материальную точку, помещаемую в любую точку пространства внутри поверхности Земли, или над её поверхностью, образует, практически, стационарное поле силы тяжести. Совокупность кулоновских сил, действующих на материальную точку, несущую электрический заряд и, помещаемую в любой точке между обкладками плоского конденсатора, заряжаемого источником переменного напряжения, образует нестационарное поле кулоновских сил.

Силовые поля бывают так же однородными и неоднородными. Если в силовом поле сила, действующая на материальную точку, не зависит от её расположения в данный момент времени, то такое поле называется однородным . В противном случае силовое поле будет неоднородным . Так силовое поле сил тяжести вблизи достаточно малого участка поверхности Земли, практически, однородное. Если же это поле рассматривать на больших протяжениях, то, в этом случае, данное поле будет неоднородным.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только стационарных силовых полей, для которых сила зависит явным образом только от координат её точки приложения. Запишем работу таких сил в форме последнего из равенств (15):

При вычислении криволинейного интеграла (61) с учётом равенств (62), в общем случае, необходимо под знаком интеграла перейти к одной переменной, например, x . Для этого следует указать форму кривой, вдоль которой берётся интеграл, задав её уравнениями y = y (x ), z = z (x ). Эти два уравнения определяют кривую (траекторию точки) в пространстве, как линию пересечения двух цилиндрических поверхностей, образующие которых параллельны соответственно осям z и y . Таким образом, даже в том случае, когда сила является функцией только координат точки, работа силы, вообще говоря, будет зависеть от формы траектории, по которой движется её точка приложения.

Из теории криволинейных интегралов известно, что криволинейный интеграл вида (29) не зависит от пути интегрирования только в том случае, когда подынтегральная функция является полным дифференциалом некоторой функции координат точки. Так как подынтегральная функция в выражении (29) представляет элементарную работу силы, то, на основании вышеизложенного, имеем:

Функция U (x , y , z ) называется силовой функцией или потенциалом силового поля в данной его точке. Поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем , а сила, действующая на материальную точку, находящуюся в этом поле, называется потенциальной силой . Подставляя выражение элементарной работы из равенства (31) под знак интеграла в формуле (29) и выполняя интегрирование, получим следующее выражение работы потенциальной силы:

где U 1 =U (x 1 , y 1 , z 1 ) и U 2 = U (x 2 , y 2 , z 2 )  потенциалы силового поля соответственно в точках М 1 и М 2 . Таким образом, из выражения (32) вытекает, что работа потенциальной силы при перемещении материальной точки в потенциальном силовом поле равна разности значений силовой функции (разности потенциалов силового поля) между конечным и начальным положениями точки. Эта работа не зависит ни от формы траектории, по которой перемещается точка, ни от её закона движения. Силы, не обладающие вышеназванными свойствами, называются непотенциальными. К таким силам относятся силы сухого и вязкого трения, различные силы сопротивления, возникающие при движении тел в жидких и газообразных средах, и ряд других сил.

Если в силовом поле выделить множество точек, имеющих одинаковое значение потенциала, то оно может образовывать поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности), линии равного потенциала (эквипотенциальные линии), или вырождаться в одну точку. Для определения потенциала силового поля в данной точке возьмём неопределённый интеграл от левой и правой части последнего равенства (31):

(33)

Откуда следует, что работа потенциальной силы и значение силовой функции в данной точке поля отличаются на произвольную постоянную.

Как следует из равенства (32), работа потенциальной силы при перемещении материальной точки между двумя точками поля вообще не зависит от значения постоянной С . Поэтому можно определить значение этой константы, приняв, что на некоторой эквипотенциальной поверхности, линии или в точке потенциал силового поля равен нулю. Такие эквипотенциальные поверхности, линии или точки называются поверхностями, линиями или точками нулевого потенциала. В основном, поверхности, линии и точки нулевого потенциала выбираются так, чтобы константа С=0 . На основании изложенного, имеем равенство:

Из этого равенства следует, что потенциал силового поля в данной точке равен работе, совершаемой потенциальной силой при перемещении материальной точки в данную точку поля из поверхности, линии или точки нулевого потенциала. Используя равенство (34), вычислим потенциалы некоторых распространённых силовых полей:

1) потенциал однородного поля силы тяжести найдём, используя выражение элементарной работы силы тяжести dA =- Pdz (ось z направлена вертикально вверх); интегрируя левую и правую части этого равенства, с учётом (34), находим U =- Pz (поверхность нулевого потенциала совпадает с координатной плоскостью xOy ); эквипотенциальными поверхностями данного поля являются плоскости перпендикулярные линиям действия сил тяжести.

2) потенциал гравитационного поля (ньютоновский потенциал) найдём, используя выражение гравитационной силы в виде F = k / r 2 (k  постоянная, содержащая все константы, входящие в закон всемирного тяготения; r  расстояние от центра притягивающей сферы до материальной точки); элементарная работа гравитационной силы dA =- k / r 2 dr ; беря интегралы от левой и правой части данного равенства, с учётом (34), найдём U = k / r (здесь поверхностью нулевого потенциала является сфера бесконечно большого радиуса); эквипотенциальными поверхностями будут сферы с центром, совпадающим с центром притягивающей сферы.

3)потенциал поля упругой силы найдём, используя выражение проекции упругой силы на ось x данное в Лекции 2 (раздел 2, пункт а) прямолинейные гармонические колебания); поле данной силы действует вдоль одной прямой (оси x ) и называется линейным полем; элементарная работа dA =- cxdx ; интегрированием левой и правой части данного равенства, с учётом (34), находим U =- cx 2 /2 (точка нулевого потенциала находится в начале координат); эквипотенциальные поверхности вырождаются в точки.

Отметим, что потенциал (силовая функция) силового поля имеет физическую размерность, совпадающую с размерностью энергии, поэтому, для более наглядной физической трактовки свойств потенциальных силовых полей наряду с понятием потенциала, используется понятие потенциальной энергии силового поля в данной его точке, равной взятому со знаком минус потенциалу поля в этой же точке. Обозначив потенциальную энергию через П , запишем:

С учётом равенств (34) и (35) и, принимая во внимание определение потенциала, данное выше, можно дать следующее определение потенциальной энергии силового поля в данной точке: Потенциальная энергия силового поля в некоторой его точке равна работе данной потенциальной силы при перемещении материальной точки из данной точки поля в точку с нулевой потенциальной энергией (нулевым потенциалом).

Физический смысл потенциальной энергии состоит в том, что в точках силового поля имеется запас энергии, который может превратиться в работу потенциальной силы при перемещении её точки приложения из данной точки в какую-либо точку нулевого потенциала. Так, например, сила тяжести P тела, поднятого над поверхностью земли на высоту h, способна совершить работу равную Ph , если тело будет падать с этой высоты на землю (горизонтальный участок поверхности земли принимается за поверхность нулевого потенциала).

При движении материальной точки в потенциальном силовом поле, теореме об изменении кинетической энергии точки можно придать наглядный физический смысл, используя понятие потенциальной энергии силового поля в данной точке. Для этого, выразим работу потенциальной силы при перемещении материальной точки из начального положения М 0 в текущее положение М через разность потенциальных энергий силового поля в точках М 0 и М по формулам (32) и (35):

С учётом равенства (36), теорема об изменении кинетической энергии точки (см. равенство (14)), примет следующий вид:

, или

(37)

Равенство (37) выражает хорошо известный из школьного курса физики закон сохранения механической энергии, который читается: При движении материальной точки в поле потенциальной силы её полная механическая энергия сохраняется. Этот закон может быть распространён и на случай действия нескольких потенциальных сил. При этом полная потенциальная энергия равна алгебраической сумме потенциальных энергий П к каждой силы:

(38)

Следует обратить особое внимание на то, что закон сохранения механической энергии не носит такого фундаментального характера как закон сохранения и превращения энергии. Этот закон является частным случаем теоремы об изменении кинетической энергии точки. Он может применяться только в тех случаях, когда силы, действующие на точку, являются потенциальными. Поэтому, в силу ограниченного применения закона сохранения механической энергии, на практике, лучше использовать теорему об изменении кинетической энергии точки. Однако, в разделе "Динамика материальной системы и твёрдого тела" этот закон имеет важнейшее значение для развития, так называемых, общих принципов механики.

ЛЕКЦИЯ 7

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ И ТВЁРДОГО ТЕЛА

1. Понятие механической материальной системы. Силы внешние и внутренние

Механической материальной системой будем называть такую совокупность материальных точек или тел, в которой движение и положение каждой точки (тела) зависит от движения и положения остальных точек (тел). Для того, что бы материальная система была механической (т. е. могла бы быть изучена с помощью законов механики), необходимо, что бы между точками (телами) системы существовало взаимодействие. Взаимодействие между точками или телами системы может осуществляться как при помощи механических связей, которые, в этом случае, включаются в рассматриваемую систему, так и при помощи различного рода полей (гравитационного, электрического, магнитного и т. д.). Примером механической системы первого типа может служить кривошипно-шатунный механизм, а примером системы второго типа  электродвигатель, в котором взаимодействие между ротором и статором осуществляется при помощи электромагнитного поля.

Силы, действующие на точки (тела) системы, можно разделить на внешние и внутренние. К внешним силам относятся те из них, которые действуют на точки (тела) системы со стороны точек или тел, не входящих в данную систему. К внутренним силам относятся силы взаимодействия между точками (телами) системы. Внутренние силы, как силы взаимодействия, подчиняются 3-му закону Ньютона, поэтому они обладают двумя важными, очевидными свойствами: 1-е свойство  векторная сумма всех внутренних сил равна нулю; 2-е свойство  векторная сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки пространства (центра) равна нулю.

Поскольку, в общем случае, материальная система может состоять из весьма большого количества материальных точек, то описывать движение материальной системы, составляя дифференциальные уравнения движения каждой точки системы, практически, невозможно. Так для системы, состоящей из n материальных точек, в общем случае, нужно составить 3 n дифференциальных уравнений движения, что при n =2 уже приведёт к системе шести дифференциальных уравнений второго порядка. Кроме этого, следует учесть, что внутренние силы, действующие на точки (тела) системы, как правило, заранее не известны. Всё сказанное, заставляет прибегать к другим методам изучения движения механической системы. Рассмотрим основные из этих методов.

2.Применение основных теорем динамики к исследованию движения механической системы

В динамике материальной системы рассматриваются четыре основные теоремы, три из которых аналогичны соответствующим теоремам динамики точки, а четвёртая является аналогом основного уравнения динамики точки. Принцип вывода этих теорем следующий:

z M 2

M 1 M k

Применим вышеприведённую последовательность к выводу общих теорем динамики системы.

1) Теорема об изменении количества движения системы

1) на рис.1 изображена система материальных точек k =1,2… n (n

2) указаны направления равнодействующей всех внешних и равнодействующей всех внутренних сил, приложенных к произвольной k-й точке системы;

3) записываем теорему об изменении количества движения каждой k -й точки системы в дифференциальной форме (см. Лекцию 5, равенство (1)):

(1)

4) складываем, соответственно, левые и правые части всех n равенств вида (1):

5) проводим преобразования:

, (3)

где вектор называется вектором (главным вектором) количества движения системы; по свойству внутренних сил. С учётом сделанных преобразований, равенство (2) примет следующий вид:

Равенство (4) представляет дифференциальную форму записи теоремы об изменении количества движения системы: Производная по времени от вектора количества движения системы в данный момент времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему в этот же момент времени . Интегральная форма записи этой теоремы, практически, используется крайне редко, поэтому здесь её не приводим (интегральная форма записи данной теоремы будет получена в теории удара). Равенство (4) может быть записано в скалярной форме путём проектирования его левой и правой части на оси декартовой системы координат:

, (5)

где Q x , Q y , Q z  проекции вектора количества движения системы на оси декартовой системы координат равные:

(6)

2) Теорема об изменении вектора момента количества движения (кинетического момента) системы относительно неподвижного центра

k =1,2… n (n  общее количество материальных точек) относительно осей неподвижной декартовой системы координат;

k -й точке системы;

3) записываем теорему об изменении момента количества движения каждой k -й точки системы в дифференциальной форме (см. Лекцию 5, равенство (22)):

4) складываем, соответственно, левые и правые части всех n равенств вида (7):

5) проводим преобразования:

, (9)

где вектор называется вектором (главным вектором) момента количества движения (кинетическим моментом) системы относительно данного центра; по свойству внутренних сил. С учётом сделанных преобразований равенство (8) примет следующий вид:

(10)

Равенство (10) представляет дифференциальную форму записи теоремы об изменении кинетического момента системы: Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра в данный момент времени равна векторной сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему в этот же момент времени, относительно того же центра. Интегральная форма записи этой теоремы, практически, используется крайне редко, поэтому здесь её не приводим. Равенство (10) может быть записано в скалярной форме путём проектирования его левой и правой части на оси декартовой системы координат:

3) Теорема об изменении кинетической энергии системы

1) на рис. 1 изображена система материальных точек k =1,2… n (n  общее количество материальных точек) относительно осей неподвижной декартовой системы координат;

3) записываем теорему об изменении кинетической энергии каждой k -й точки системы в интегральной форме (см. Лекцию 6, равенство (14)):

, k=1,2…n (12)

4) складываем, соответственно, левые и правые части всех n равенств вида (12):

(13)

5) обозначим:

, (14)

где T и T 0  соответственно, кинетические энергии системы в текущий и начальный моменты времени. С учётом сделанных обозначений равенство (13) примет следующий вид:

(15)

Это равенство представляет запись теоремы об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме, которая читается: Изменение кинетической энергии системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени. В отличие от первых двух теорем, где изменение количества движения или кинетического момента системы могло происходить только за счёт действия внешних сил, в этой теореме изменение кинетической энергии системы происходит как за счёт внешних, так и за счёт внутренних сил.

Возникает вопрос, может ли, в некоторых случаях, изменение кинетической энергии системы быть обусловлено действием только внешних сил? В этом случае должна быть равна нулю сумма работ всех внутренних сил. Это возможно в том случае, когда внутренними силами являются силы реакции идеальных связей , с помощью которых точки (тела) системы взаимодействуют между собой.

В теоретической механике вводится постулат идеальных связей, как связей, для которых сумма работ сил реакций на рассматриваемом перемещении системы равна нулю (далее будет дано более общее понятие идеальных связей). Так, например, если тела системы соединены между собой гибкими нерастяжимыми нитями, идеальными шарнирами (шарнирами, в которых отсутствует трение) или взаимодействуют между собой непосредственно без возникновения сил трения скольжения, то такого типа связи будут идеальными. При этом, в самих твёрдых телах сумма работ всех внутренних сил так же равна нулю. Для таких «идеальных» механических систем теорема об изменении кинетической энергии примет следующий вид:

(16)

Следует отметить, что для решения учебных задач теорема об изменении кинетической энергии системы, чаще всего, применяется в виде (16).

4) Теорема о движении центра масс системы

3) записываем основное уравнение динамики для каждой точки системы (см. Лекция 1, равенство (4)):

4)складываем, соответственно, левые и правые части всех n равенств вида(17):

5) проводим преобразования:

(20)

где т. С называется центром масс системы, а величина

, масса системы (21)

называется радиус-вектором центра масс системы. С учётом выражений (19) и (20) равенство (18) запишется:

(22)

или поскольку величина , это ускорение центра масс системы, то предыдущее равенство примет следующий вид:

(22*)

По своему внешнему виду равенство (22*) напоминает основное уравнение динамики точки, записанное для центра масс системы, в предположении, что в центре масс как бы сосредоточена масса всей системы, и на него как бы действуют все внешние силы, приложенные к точкам системы. Это даёт основание сформулировать следующую теорему о движении центра масс системы: Центр масс материальной системы движется как одна материальная точка, в которой как бы сосредоточена масса всей системы, и на которую как бы действуют все внешние силы, приложенные к системе.

Непосредственно из равенства (21) вытекает ещё одно соотношение, характеризующее движение центра масс системы. Умножим левую и правую части этого равенства на массу системы М и продифференцируем их по времени:

(23)

Так как , а , то равенство (23) запишется в следующем виде:

(24)

Таким образом, из равенства (24) следует, что количество движения системы равно количеству движения её центра масс, если в этой точке сосредоточить массу всей системы. Эта формула позволяет сравнительно легко вычислять количество движения системы, зная массу системы и скорость её центра масс.

3. Законы сохранения

Из общих теорем динамики системы вытекают некоторые важные частные случаи движения механических систем, получившие название законов сохранения. Рассмотрим основные из этих законов.

1)Закон сохранения количества движения системы и его проекции на данную ось. Пусть внешние силы, действующие на систему таковы, что. Тогда, на основании равенства (4), получим:

Последнее равенство выражает закон сохранения количества движения системы , который читается: Если векторная сумма внешних сил, действующих на механическую систему равна нулю, то вектор количества движения этой системы сохраняется.

И (26)

Последнее из равенств (26) выражает закон сохранения проекции количества движения системы на данную ось, который читается: Если сумма проекций внешних сил, действующих на механическую систему, на какую-либо ось (в данном случае на ось x ) равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось сохраняется. При этом остальные проекции количества движения могут не сохраняться.

Рассмотрим пример : к космической станции массой М , находящейся на круговой орбите, пристыкован космический корабль массы m . Центр масс этой системы движется со скоростью V относительно поверхности Земли. В некоторый момент времени происходит отделение космического корабля от станции со скоростью u относительно станции, направленной в сторону её движения. Определить скорость станции относительно поверхности Земли в момент отделения корабля (рис.2).

Спроектируем векторное равенство (4) на касательную к траектории центра масс станции и корабля. При этом будем считать, что центры масс станции С 1 и корабля С 2 движутся по той же траектории (расстояние между ними значительно меньше расстояния от центра масс системы до центра Земли). Внешними силами, в данном случае, являются силы притяжения к центру Земли, действующие на станцию и корабль. В результате получим:

С 1

С 2

P 1 P 2 V 1

(27)

Таким образом, в данном случае, приходим к закону сохранения проекции количества движения системы на касательную к траектории движения центра масс системы. Подсчитаем проекцию количества движения системы на касательную, принимая во внимание, что скорость корабля в момент его отделения от станции будет складываться из скорости станции V 1 и его скорости u по отношению к станции (эти векторы направлены по одной прямой в одну сторону (рис.2)):

(28)

Согласно последнему из равенств (27) найденная величина должна быть постоянной. Найдём эту константу из начальных условий задачи. Так как по условию, до разделения, станция и корабль двигались как одно тело со скоростью V , то начальная проекция количества движения системы на касательную равна:

(29)

Приравнивая, согласно (27), выражения (28) и (29), определим из полученного уравнения скорость космической станции V 1 в момент отделения космического корабля:

Как следует из формулы (30), при отделении корабля от станции с относительной скоростью, направленной по направлению её начальной скорости V , скорость станции уменьшится. Если бы корабль отделился от станции с относительной скоростью, направленной против начальной скорости станции, то скорость станции увеличилась бы. В этом случае скорость станции по отношению к поверхности Земли была бы равна разности и в правой части формулы (30) второе слагаемое было бы положительным.

2) Закон сохранения кинетического момента системы относительно центра и оси. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что , Тогда из уравнения (10) следует:

Последнее из равенств (31) выражает закон сохранения кинетического момента системы относительно данного центра , который читается: Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно данного центра равна нулю, то кинетический момент системы относительно этого же центра сохраняется.

Затем предположим, что , а . В этом случае, как следует из третьего равенства (11), получим:

И (32)

Последнее из равенств (32) выражает закон сохранения кинетического момента системы относительно оси (в данном случае оси z ) , который читается: Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно данной оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси (или проекция кинетического момента системы на эту ось) сохраняется. При этом кинетические моменты системы относительно других осей могут не сохраняться.

Приведём пример на применение закона сохранения кинетического момента системы относительно оси: через невесомый блок перекинут канат, по которому поднимается человек А с постоянной относительной скоростью u . В точке В к канату привязан груз одинакового веса с человеком. С какой скоростью будет подниматься груз (рис.3)? На рис.3 показаны векторы: - сила тяжести человека или груза, - скорость груза, равная скорости любой точки каната, - относительная (по отношению к канату) скорость человека, - сила реакции оси блока.

Запишем теорему об изменении кинетического момента системы в проекции на ось z , направленную вдоль оси блока на нас.

(33)

Найдём сумму моментов всех сил относительно оси z :

(34),

где r - радиус блока. Таким образом, на основании (34), из уравнения (33) следует закон сохранения кинетического момента системы относительно оси z :

Найдём кинетический момент системы относительно оси z , как проекцию вектора на ось z :

(36),

где - абсолютная скорость, направленная вертикально вверх (предполагается, что u > V ).

Так как относительная скорость человека u и его переносная скорость V (переносная скорость человека равна скорости каната в месте нахождения человека) направлены по одной прямой в разные стороны, то его абсолютная скорость равна:

(37)

С учётом равенства (37), выражение кинетического момента системы относительно оси z (36) примет следующий вид:

(38)

Найдём теперь константу в правой части равенства (35). Для этого предположим, что в начальный момент времени система находилась в покое. В этом случае, начальный кинетический момент системы относительно оси z равен нулю. Согласно равенству (35), он будет равен нулю и в любой другой момент времени. Таким образом, имеем:

Приравнивая друг к другу левые и правые части выражений (38) и (39), найдём из получившегося уравнения:

3)законы сохранения движения и координаты центра масс системы. Теперь рассмотрим частные случаи, вытекающие из теоремы о движении центра масс системы. В уравнении (22*) положим равной нулю векторную сумму внешних сил, действующих на систему, т. е. . В результате получим:

(41)

Последнее из равенств (41) выражает закон сохранения движения центра масс системы, который читается: Если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то движение центра масс этой системы сохраняется. Это значит, что центр масс системы будет двигаться равномерно и прямолинейно, или будет находится в состоянии покоя, если в начальный момент времени он находился в покое.

, (42)

где последнее равенство выражает закон сохранения проекции движения центра масс системы на данную ось (в рассматриваемом случае на ось x ), который читается: Если сумма проекций внешних сил, действующих на систему, на какую-либо координатную ось, равна нулю, то проекция движения центра масс системы на эту ось сохраняется. Это значит, что проекция скорости центра масс системы на данную ось остаётся постоянной. При этом, проекции скорости центра масс на другие оси могут и не сохранятся.

В свою очередь, из последнего равенства (42), как частный случай, вытекает важное следствие, часто встречающееся при решении задач. Предположим, что в начальный момент времени проекция скорости центра масс системы на ось x V Cx (0)=0 . Тогда, на основании равенства (42), она будет равна нулю и в любой другой момент времени. В этом случае, данное равенство можно представить в следующей дифференциальной форме:

откуда следует:

Это равенство выражает закон сохранения координаты центра масс системы (в данном случае координаты x ), который читается: Если при сохранении движения центра масс системы относительно данной координатной оси, начальная проекция скорости центра масс на эту ось была равна нулю, то данная координата центра масс системы сохраняется. При этом, остальные координаты центра масс системы могут и не сохранятся.

x A Рис.4

Рассмотрим пример на закон сохранения координаты центра масс системы : однородный стержень АВ длиной падает под действием силы тяжести на горизонтальную, гладкую плоскость, скользя по ней концом А (рис.4). Найти, какое расстояние а пройдёт точка А к моменту падения стержня на плоскость, если в начальный момент времени стержень занимал вертикальное положение.

В данном примере сумма проекций на ось x всех внешних сил (- сила тяжести, - сила реакции гладкой поверхности), действующих на стержень, равна нулю. Предполагая, что в начальный момент времени (при вертикальном расположении) стержень находился в покое, приходим к закону сохранения координаты x C его центра масс (или центра тяжести) (43).

Взяв начальное положение т.А за начало координат (рис.4), найдём значение координаты x A т. А в тот момент, когда стержень упадёт на опорную плоскость. Так как в начальный момент времени координата x С т. С равнялась нулю, а в момент падения стержня на опорную плоскость она будет равна x A + l /2 , то на основании равенства (43) получим уравнение:

откуда находим, что x A =- l /2 , а значит пройденное точкой А расстояние а будет равно:

(45)

Попутно заметим, что при падении стержня на гладкую опорную плоскость, его центр тяжести С , согласно (43), будет двигаться по вертикали.

ЛЕКЦИЯ 8

Приложение общих теорем динамики системы к изучению движения твёрдого тела

Твёрдое тело является частным случаем механической системы, в которой кратчайшие расстояния между точками не изменяются при их движениях (неизменяемая система). Чаще всего при изучении движения тела используются теоремы об изменении кинетического момента, кинетической энергии и о движении центра масс системы.

Применение теоремы об изменении кинетического момента системы.

а) динамика вращательного движения тела вокруг неподвижной оси

Как правило, теорема об изменении кинетического момента системы применяется при изучении вращательных движений тела. Рассмотрим её применение на примере изучения вращательного движения тела вокруг неподвижной оси (рис.1). Найдём кинетический момент тела вращающегося вокруг оси z по формуле:

K z =  m z (m k V k )=  m k V k h k =  m k h k 2 (1)

Физическая величина:

I z =  m k h k 2 (2)

называется моментом инерции тела относительно данной оси вращения . С учётом выражения (2), кинетический момент тела относительно оси вращения z примет следующий вид:

Взяв производную по времени от левой и правой частей равенства (3), и, принимая во внимание, что момент инерции I z = const для данного тела и данной, фиксированной оси вращения z , получим:

Величина d  / dt равна угловому ускорению тела  = d 2  / dt 2 , а величина dK z / dt определяется последним из соотношений (11) (Лекция 7). На этом основании равенство (4) можно записать в следующем виде:

Равенство (5) называется дифференциальным уравнением вращательного движения тела относительно данной неподвижной оси. Это уравнение является основным, из применяющихся уравнений для исследования вращательного движения тела.

Выразим из уравнения (5) угловое ускорение тела:

(6)

Отсюда видно, что при неизменной сумме моментов сил, действующих на различные тела, относительно данной оси вращения, угловое ускорение того из них наименьшее, у которого момент инерции относительно этой оси наибольший. Это означает, что тело с бòльшим моментом инерции изменяет свою угловую скорость медленнее, чем тело с меньшим моментом инерции. Из этого следует, что момент инерции тела относительно какой-либо оси количественно характеризует инертность этого тела по отношению к его вращательному движению относительно данной оси.

Ввиду большой практической важности вопроса определения моментов инерции тел, ему посвящается большой раздел механики, в котором рассматриваются различные теоретические и экспериментальные способы определения моментов инерции различных тел. Из-за ограниченности данного курса лекций этот вопрос здесь в полном объёме не рассматривается и выносится на самостоятельную проработку (С. М. Тарг Краткий курс теоретической механики. Изд. 1986 г., §§ 102 - 104 , стр. 265 - 271.).

В дальнейшем, нам понадобится определять моменты инерции тел относительно произвольных осей, выражая их через осевые моменты инерции этих тел относительно декартовых осей координат и некоторые дополнительные величины, называемые центробежными моментами инерции.

б) определение момента инерции тела относительно произвольной оси. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции.

Рассмотрим определение момента инерции тела относительно произвольной оси Δ (рис.2). Для этого возьмём на данной оси произвольную

точку О, которую примем за начало декартовой системы координат, жёстко связанной с телом. По определению момента инерции тела относительно оси (2), и из рис.2 имеем:

, (7)

где  единичный вектор оси  . Разложим векторное произведение по декартовым осям координат (рис.2):

, (8)

где   и   углы, образованные вектором с положительными направлениями координатных осей.

Для единичного вектора косинусы этих углов равны соответствующим проекциям данного вектора на оси координат. Подставляя значение векторного произведения (8) в формулу осевого момента инерции (7), получим следующее выражение момента инерции тела относительно произвольной оси  :

При возведении в квадрат правой части выражения (8) учитывалось, что скалярные произведения разноимённых единичных векторов равны нулю, а скалярные произведения одноимённых единичных векторов равны единице.

В правой части выражения (9) введём следующие обозначения:

(10)

В равенствах (10) величины представляют осевые моменты инерции тела относительно координатных осей . Величины называются центробежными моментами инерции тела . В отличие от осевых моментов инерции, которые всегда положительны, центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами. При определённым образом выбранной форме тела и положения системы координат Oxyz по отношению к телу, центробежные моменты инерции могут быть равными нулю. Так же следует отметить, что в обозначениях центробежных моментов инерции можно менять местами индексы координатных осей, от этого величина соответствующего центробежного момента инерции не изменится. Так, например и т. д.:

Так как коэффициенты при квадратах координат положительны, то эта поверхность может быть только эллипсоидом. Эллипсоид, описываемый уравнением (14), называется эллипсоидом инерции. Каждой точке тела соответствует свой эллипсоид инерции. Если данная точка тела является центром масс, то эллипсоид инерции называется центральным .

Если оси координат направить вдоль главных диаметров эллипсоида инерции и обозначить эти оси через , то, как доказывается в аналитической геометрии, в новом уравнении эллипсоида обратятся в нуль слагаемые, содержащие произведения координат и уравнение эллипсоида примет вид:

(15)

. в) теорема Штейнера - Гюйгенса

Часто, при решении задач динамики твёрдого тела, бывает необходимо вычислить момент инерции тела относительно некоторой оси, если известен момент инерции этого тела относительно другой оси ей параллельной. Покажем, как это сделать. Рассмотрим произвольное тело, в котором проведены две системы координатных осей (рис.5).

m k

x" k C y k " y"

O y k y

Одна система координат Oxyz проведена через произвольную точку тела О , а другая система координат Cx " y " z " проведена через центр масс тела С . При этом оси x и x " совпадают, а оси z и z " , y и y " соответственно параллельны. Найдём зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей z и z " , расстояние между которыми равно d (рис.5).

Согласно определению осевых моментов инерции, данных первыми тремя формулами (10), получим:

(17)

Далее имеем: . Подставляя эти соотношения в первую формулу (17), приведём её к следующему виду:

(18)

В правой части равенства (18) первое слагаемое представляет момент инерции тела относительно оси z " (см. вторую формулу (17)). Второе слагаемое будет равно нулю по определению центра масс системы (Лекция 8, (21)). Согласно этому определению имеем: . Наконец, последнее слагаемое правой части (18) равно . Таким образом, равенство (18) примет следующий вид:

(19)

Равенство (19) выражает теорему Штейнера - Гюйгенса, которая читается: Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции этого же тела относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно данной оси, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Пользуясь теоремой Штейнера - Гюйгенса можно определить зависимость между двумя любыми параллельными осями, если известно положение этих осей по отношению к параллельной им оси, проходящей через центр масс тела. Из равенства (19) следует весьма важный физический смысл теоремы Штейнера - Гюйгенса: момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, является наименьшим по сравнению с моментами инерции этого же тела относительно любых других осей ей параллельных. тела, примет следующий вид:

, (20)

где а = ОС. Уравнение (20) похоже на уравнение (4) (Лекция 3), описывающее колебания математического маятника. Роль массы математического маятника в уравнении (20) играет момент инерции тела относительно оси z , а роль длины нити  расстояние а от центра тяжести С тела до оси z . Точно так же, как это было сделано при интегрировании уравнения (4) (Лекция 3) для малых колебаний математического маятника, приведём дифференциальное уравнение малых колебаний физического маятника к следующему виду:

Не приводя подробное решение дифференциального уравнения (21) (это было сделано в Лекции 3), можно сразу сказать, что малые колебания физического маятника, так же как и малые колебания математического маятника, будут гармоническими. Постоянную к назовём циклической частотой колебаний физического маятника. Зная циклическую частоту к , найдём период колебаний физического маятника, используя известное соотношение :

(23)

Сравним формулу (23) периода колебаний физического маятника с формулой Гюйгенса (Лекция 3 (8),) периода колебаний математического маятника. Из сравнения следует, что длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний, как и соответствующий физический маятник, определяется формулой:

, (24)

где М - масса физического маятника, - называется приведённой длиной физического маятника. Таким образом, приведённая длина физического маятника, есть длина такого математического маятника, который имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник. центром качаний физического маятника.

Поменяем теперь ось вращения физического маятника, совместив её с осью, проходящей через точку О 1 (рис.6). Найдём для этого случая приведённую длину по формуле (24), представив момент инерции маятника относительно оси z 1 по теореме Штейнера - Гюйгенса (19):

(26)

Так как (см. формулу (25)), то, подставив это значение О 1 С в формулу (26), получим:

Таким образом, оказывается, что точки О и О 1 являются взаимными , т. е. при качании физического маятника относительно оси z центром качаний будет точка О 1 , а при его качании относительно оси z 1 центром качаний будет точка О. При этом период колебаний маятника не изменится.

Точек и мерами действия сил содержатся в общих теоремах динамики : количеств... движения, моментов количества движения и кинетической энергии. Эти теоремы выражают...

Общая экономическая теория (3)

Реферат >> Экономика

И совокупного предложения дает точку общего экономического равновесия. Аналогично основным... объем производства в динамике . Достоинством данной модели является то , что она... положения служит так называемая теорема Коуза. Теорема Коуза - решение американским...

(МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ) – IV вариант

1. Основное уравнение динамики материальной точки, как известно, выражено уравнением . Дифференциальные уравнения движения произвольных точек несвободной механической системы согласно двух способов деления сил можно записать в двух формах:

(1) , где k=1, 2, 3, … , n – количество точек материальной системы.

где - масса k-той точки; - радиус вектор k-той точки, - заданная (активная) сила, действующая на k-тую точку или равнодействующая всех активных сил, действующих на k-тую точку. - равнодействующая сил реакций связей, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внутренних сил, действующая на k-тую точку; - равнодействующая внешних сил, действующая на k-тую точку.

При помощи уравнений (1) и (2) можно стремиться решать как первую, так и вторую задачи динамики. Однако решение второй задачи динамики для системы очень усложняется не только с математической точки зрения, но и потому, что мы сталкиваемся с принципиальными трудностями. Они заключаются в том, что как для системы (1), так и для системы (2) число уравнений значительно меньше числа неизвестных.

Так, если использовать (1), то известными для второй (обратной) задачи динамики будут и , а неизвестными будут и . Векторных уравнений будет «n », а неизвестных - «2n».

Если же исходить из системы уравнений (2), то известные и часть внешних сил . Почему часть? Дело в том, что в число внешних сил входят и внешние реакции связей, которые неизвестны. К тому же неизвестными будут ещё и .

Таким образом, как система (1), так и система (2) НЕЗАМКНУТА. Нужно добавлять уравнения, учитывая уравнения связей и возможно ещё нужно накладывать некоторые ограничения на сами связи. Что делать?

Если исходить из (1), то можно пойти по пути составления уравнений Лагранжа первого рода. Но такой путь не рационален потому, что чем проще задача (меньше степеней свободы), тем труднее с точки зрения математики ее решать.

Тогда обратим внимание на систему (2), где - всегда неизвестны. Первый шаг при решении системы – это нужно исключить эти неизвестные. Следует иметь в виду, что нас, как правило, не интересуют внутренние силы при движении системы, то есть при движении системы не нужно знать, как движется каждая точка системы, а достаточно знать как движется система в целом.

Таким образом, если различными способами исключить из системы (2) неизвестные силы , то получаем некоторые соотношения, т. е. появляются некоторые общие характеристики для системы, знание которых позволяют судить о том, как движется система в общем. Эти характеристики вводятся при помощи так называемых общих теорем динамики. Таких теорем четыре:

1. Теорема о движении центра масс механической системы ;

2. Теорема об изменении количества движения механической системы ;

3. Теорема об изменении кинетического момента механической системы ;

4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы .

ТЕОРЕМА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (в дифференциальной форме) .

1. Для точки: производная от количества движения точки по времени равна равнодействующей приложенных к точке сил :

или в координатной форме:

2. Для системы: производная от количества движения системы по времени равна главному вектору внешних сил системы (векторной сумме внешних сил , приложенных к системе):

или в координатной форме:

ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ (теорема количества движения в конечной форме).

1. Для точки: изменение количества движения точки за конечный промежуток времени равно сумме импульсов, приложенных к точке сил (или импульсу равнодействующей приложенных к точке сил)

или в координатной форме:

2. Для системы: изменение количества движения системы за конечный промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил:

или в координатной форме:

Следствия: при отсутствии внешних сил количество движения системы есть величина постоянная; если внешние силы системы перпендикулярны некоторой оси, то проекция количества движения на эту ось есть величина постоянная.

ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

1. Для точки: Производная по времени от момента количества движения точки относительно некоторого центра (оси) равна сумме моментов приложенных к точке сил относительно того же центра (оси):

2. Для системы:

Производная по времени от момента количества движения системы относительно некоторого центра (оси) равна сумме моментов внешних сил системы относительно того же центра (оси):

Следствия: если внешние силы системы не дают момента относительно данного центра (оси), то момент количества движения системы относительно этого центра (оси) есть величина постоянная.

Если силы, приложенные к точке, не дают момента относительно данного центра, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная и точка описывает плоскую траекторию.

ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

1. Для точки: изменение кинетической энергии точки на конечном ее перемещении равно работе приложенных к ней активных сил (касательные составляющие реакций неидеальных связей включаются в число активных сил):

Для случая относительного движения: изменение кинетической энергии точки при относительном движении равно работе приложенных к ней активных сил и переносной силы инерции (см. "Частные случаи интегрирования") :

2. Для системы: изменение кинетической энергии системы на некотором перемещении ее точек равно работе приложенных к ней внешних активных сил и внутренних сил, приложенных к точкам системы, расстояние между которыми меняется:

Если система неизменяема (твердое тело), то ΣA i =0 и изменение кинетической энергии равно работе только внешних активных сил.

ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ . Центр масс механической системы движется как точка, масса которой равна массе всей системы M=Σm i , к которой приложены все внешние силы системы:

или в координатной форме:

где - ускорение центра масс и его проекции на оси декартовых координат; внешняя сила и ее проекции на оси декартовых координат.

ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ ДЛЯ СИСТЕМЫ, ВЫРАЖЕННАЯ ЧЕРЕЗ ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС.

Изменение скорости центра масс системы за конечный промежуток времени равно импульсу внешних сил системы за тот же промежуток времени, деленному на массу всей системы.

Дифференциальные уравнения движения системы.

Применяем второй (основной) закон динамики, получим

Аналогичного вида уравнения получим для любой точки системы, т.е. всего для рассматриваемой системы будет иметь nтаких уравнений (k= 1, 2….n). Эта система уравнений представляет собойдифференциальные уравнения движения механической системы в векторной форме.

Проектируя равенства (2) на какие-нибудь координатные оси, получим систему дифференциальных уравнений движения системы в проекциях на эти оси.

В результате интегрирования системы дифференциальных уравнений (что очень сложно) получить законы движений каждой точки системы. Гораздо удобнее определять некоторые сумарные характеристики движения всей системы в целом, а по ним, если требуется, найти и соответствующие параметры движения отжельных точек системы.

Такими характеристиками являются меры движения системы: количество движения, момент количества движения, кинетическая инергия.

Приче м каждая из этих мер для системы определяется как сумма соответствующих мер движения всех ее точек.

Соответственно и воздействия на систему рассматриваются суммарно (главный вектор и главный момент приложенных к системе сил, суммы работ и т.п.).

Зависсимость между мерами движения системы и мерами воздействия на нее выражают общие теоремы системы материальных точек.

Общие теоремы динамики системы являются следствиями системы уравнений (2).

2) Масса системы. Центр масс.

Механическая система – это система материальных точек, каждая из которых имеет определенную массу и занимает в данный момент времени определенное положение в пространстве.

Для удобства решения задач динамики механические системы желательно некоторые обобщенные (т.е. суммарные) характеристики, которые бы отражали и массу системы, и ее «геометрию масс», т.е. расположение в пространстве материальных точек системы.

Масса системы М равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему:

Центром масс механической системы называют геометрическую точку С, радиус вектор которой

где радиус- вектор точек, образующих систему.

Массы точек механической системы

М – масса системы.

Центр масс системы явл не материальной точкой, а геометрической. Он может не совпадать ни с одной материальной точкой системы. Центр масс системы характеризует распределение масс в системе.

Теорема о движении центра масс механической системы.

Теорема: Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все действующие на систему внешние силы.

Где - ускорение центра масс.

Главный вектор внешних сил.

Проецируя обе части уравнения на координатные оси, получим:

где ,,- координаты центра масс.

Из теоремы о движения центра масс можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения центра масс механической системы.

Если геометрическая система всех внешних сил, действующих на систему, равна 0 () то это значит, чтоили, т.е. центр масс этой системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью (иначе, равномерно и прямолинейно). В частном случае, если вначале центр масс был в покое () то он и останется в покое т.е ().

Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось Х равна 0 , тоилит.е. проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частном случае, если в начальный момент, то и в любой последующий момент времени это значение сохранится, а следовательно координатацентра масс системы не изменится т.е.=const.

Теоремы об изменении количества движения точки и системы

Определение: количеством движения материальной точки называется векторная величина ,равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Векторприложен к движущейся точке.

Определение: Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме количеств движения всех точек системы.

Вектор является свободным вектором. Как правило скорости всех точек системы различны и поэтому непосредственное суммирование векторов в правой части равенства является затруднительным.

Воспользуемся формулой для определения центра масс механической системы (1)

Или запишем в виде

дифференциируя обе части выражения по времени получим:

Сравнивая формулы (4) и (5) получим, что количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Вектор является обобщенной векторной характеристикой движения всей механической системы. В общем случае движение системы ее количество движения можно рассматривать как характеристику поступательной части движения системы вместе с центром масс. Если при движении системы (тела) центр масс неподвижен, то количество движения будет равно 0. Например количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.

Запишем второй закон динамики для материальной точки: учитывая чтополучим(7)

В каждый момент времени производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.

Если обе части равенства (7) умножить на dt , то получимвекторная величина, стоящая в правой части этого равенства, характеризует действие, оказываемое на тело силой за элементарный промежуток времениdt эту величинуназывают элементарным импульсом силы, т.е.

Довольно часто удается выделить важные особенности движения механической системы, не прибегая к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения. Это достигается применением общих теорем динамики.

5.1. Основные понятия и определения

Внешние и внутренние силы. Любая сила, действующая на точку механической системы, обязательно является либо активной силой, либо реакцией связи. Всю совокупность сил, действующих на точки системы, можно разделить на два класса иначе: на внешние силы и внутренние силы (индексы е и i - от латинских слов externus - внешний и internus - внутренний). Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в состав рассматриваемой системы. Внутренними называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы.

Это разделение зависит от того, какие материальные точки и тела включены исследователем в рассматриваемую механическую систему. Если расширить состав системы, включив в нее дополнительно точки и тела, то некоторые силы, которые для прежней системы были внешними, для расширенной системы могут стать внутренними.

Свойства внутренних сил. Поскольку эти силы являются силами взаимодействия между частями системы, они входят в полную систему внутренних сил «двойками», организованными в соответствии с аксиомой действия-противодействия. У каждой такой «двойки» сил

главный вектор и главный момент относительно произвольного центра равны нулю. Так как полная система внутренних сил состоит только из «двоек», то

1) главный вектор системы внутренних сил равен нулю,

2) главный момент системы внутренних сил относительно произвольной точки равен нулю.

Массой системы называется арифметическая сумма масс тк всех точек и тел, образующих систему:

Центром масс (центром инерции) механической системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор и координаты которой определяются формулами

где - радиусы-векторы и координаты точек, образующих систему.

Для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают, в других случаях это разные геометрические точки.

Вместе с инерциальной системой отсчета часто рассматривают одновременно неинерциальную систему отсчета, движущуюся поступательно. Ее оси координат (оси Кёнига) выбирают так, чтобы начало отсчета С постоянно совпадало с центром масс механической системы. В соответствии с определением центр масс неподвижен в осях Кёнига и находится в начале координат.

Моментом инерции системы относительно оси называется скалярная величина равная сумме произведений масс тк всех точек системы на квадраты их расстояний до оси:

Если механической системой является твердое тело, для нахождения 12 можно воспользоваться формулой

где - плотность, объем, занимаемый телом.